Jak na TSP - Numerické myšlení - Počítání čísel

Počítání čísel spadá vesměs pod kapitolu Určování čísel. Rozdíl oproti určování čísel je ale v zadání příkladů. Zde jsou příklady zadány slovy, jde tedy o slovní úlohy.

SLOVNÍ ÚLOHY

Mnoho studentů se slovních úloh obává. Nemají totiž jasně dané zadání. Pochpitelně to může někomu dělat problémy. Pro řešení slovních úloh je třeba trochu zdravého rozumu a základy matematiky. Pojďme se tedy podívat na základy.  

TROJČLENKA

Trojčlenka jsme si probrali už v kapitole určování čísel. Pokud matice neholdujete a nepamatujete si trojčlenku, nevadí, v krátkosti si ji zopakujeme. Jak již samotný název napovídá, trojčlenka má 3 členy a tím tedy i jednu neznámou. Vždy 2 z nich mají k sobě nějaký vztah a tento stejný vztah mají k sobě i zbývající 2, z nichž jednoho neznáme. Pro lepší názornost si to ukážeme na příkladě: Máme třeba 10 kostek a když vezmeme 1, tak to je jedna desetina z těch desíti. Máme tedy 2 členy u nichž víme hodnotu (1,10) a vztah mezi nimi(1/10). A nyní můžu mít určeno, že těch 10 kostek je 100% a pak mám určit kolik % je jedna (tedy 1/10 ze 100% = 10%) a nebo že mám vedle 20 kostek jiné barvy a kolik jich musím odebrat abych jich měl stejný poměr. Můžeme si to říci i způsobem, že 20 se má k 10 jako x se má 1.

Toto byla trojčlenka s přímou úměrou. Naproti tomu existují i trojčlenky s nepřímou úměrou. Ty vypadají následovně: Jedna babča poryje záhon za 4 hodiny. Za jak dlouho poryjí záhon 2 babči, když budou rýt současně? (ani celý den, protože se budou vykecávat :)) ale z hlediska matematiky víme že jedné trvá celý záhon 4h, když jsou 2 tak každá ryje jen půlku záhonu, tedy ji to potrvá poloviční dobu, tj. 2h. trojčlenka pak vypadá následovně:

ROVNICE

Učivo základní školy. Jednoduchá rovnice o jedné neznámé. Problémem u slovních úloh je ale její správné sestavení. Rovnici 2x + 4 = 10 vyřeší každý. Musíme si tedy ukázat, jak se takové rovnice sestavují.

Příklad 1

Jana má o 100 Kč víc než Honza. Dohromady mají 400 Kč. Kolik má Honza?

Otázkou je kolik má Honza, takže kolik má Honza si označíme jako x. U rovnic je důležité si správně sestavit obě strany rovnice. Začneme tím jednoduším. Ze zadání víme, že dohromady mají 400 Kč. Hurá, máme jednu stranu rovnice!

? = 400

A nyní si sestavíme druhou stranu. Co víme dál? Honza má x. Jana má tu stejnou částku, ale k tomu má ještě 100 Kč. Takže tu neznámou x co má Honza, má i Jana a k tomu má 100 Kč. Takže druhá strana je x+x+100. No a máme celou rovnici.

x+x+100 = 400

A tohle už vypočítá každý. 2x + 100 = 400 / od obou stran odečteme 100 2x = 300 / vydělíme dvěma x = 150 Ta neznámá co má Honza je 150, takže Honza má 150 Kč.

Příklad 2

V 5A si 1/2 žáků zvolila AJ, 1/3 si zvolila NJ a zbylých 5 žáků si vybralo španělštinu. Kolik je v 5A celkem žáků?

Jako neznámou x si označíme kolik je celkem žáků ve třídě, protože to potřebujeme zjistit. A jak bude vypadat rovnice? Na jedné straně bude počet žáků s angličtinou, němčinou a španělštinou a na druhé celkový počet žáků. Celkem žáků je x, máme tedy jednu stranu rovnice.

? = x

A druhá strana nebude o nic težší. 1/2 z celé třídy má AJ, takže 1/2x. Němčinu má 1/3x a španělštinu 5. Rovnice tedy vypadá následovně:

1/2x + 1/3x + 5 = x

Výpočet už nechám na Vás, ale napovím Vám, že správný výsledek je 30 :-)  

ROVNICE O VÍCE NEZNÁMÝCH

Tuto problematiku jsme si probrali už v kapitole ROVNIC. Není zde nic nového. Pouze si podle předchozího způsobu sestavíte více rovnic, kde bude více neznámých.

Příklad

První den si Andrea a Pavel vydělali dohromady 1000 Kč. Druhý den si Andrea vydělala 2x tolik co předchozí den a Pavel jen 100 Kč. Dohromady si tedy vydělali 900 Kč. Kolik si vydělal první den Pavel.

Jednou neznámou, třeba x, je kolik si vydělala Andrea. Druhou neznámou y, je kolik si vydělal Pavel. Máme 2 rovnice. Jednu za první den a druhou za druhý. x + y = 1000 2x + 100 = 900 A tohle už také snadno vyřešíme. Andrea si vydělala 400 Kč, takže Pavel si vydělal 600 Kč.  

SOUČET VĚTŠÍHO MNOŽSTVÍ ČÍSEL (Gaussův součet aritmetické posloupnosti)

Poměrně oblíbenou úlohou bývá například abyste sečetli všechna sudá čísla od nuly do stovky. Nikdo samozřejmě po Vás nechce abyste pod sebou sčítali všechna tato čísla. Na toto existuje jednoduchý vzorec. n je počet čísel, a1 je první hodnota a an je poslední. V našem případě máme sudá čísla do 100 (včetně). Sudé je každé druhé číslo, takže jich je celkem 50. První je 2 a poslední je 100. Celkem = 50/2 * (2+100) = 25*102 = 2550 Můžeme si to i rozepsat pod sebou. V první řadě rostoucí sudá čísla od 2 a ve druhé klesající od 100. Součet je 102 a celkem je to 25 sloupců, tedy 102*25.